MP Board कक्षा 12वीं गणित त्रैमासिक परीक्षा 2026-27: मॉडल पेपर (हल सहित)
.webp "MP Board कक्षा 12वीं गणित त्रैमासिक परीक्षा 2026-27: मॉडल पेपर (हल सहित)")
- पूर्णांक: 80 अंक | समय: 3:00 घंटे
- वस्तुनिष्ठ प्रश्न (32 अंक): प्रश्न 1 से 5 (सही विकल्प - 6, रिक्त स्थान - 6, सत्य/असत्य - 6, सही जोड़ी - 7, एक वाक्य में उत्तर - 7 — प्रत्येक 1 अंक)
- अति लघु उत्तरीय (20 अंक): प्रश्न 6 से 15 (कुल 10 प्रश्न, प्रत्येक 2 अंक, शब्द सीमा ~30-40 शब्द)
- लघु उत्तरीय (12 अंक): प्रश्न 16 से 19 (कुल 4 प्रश्न, प्रत्येक 3 अंक, आंतरिक विकल्प सहित)
- दीर्घ उत्तरीय / विश्लेषणात्मक (16 अंक): प्रश्न 20 से 23 (कुल 4 प्रश्न, प्रत्येक 4 अंक, आंतरिक विकल्प सहित)
शामिल पाठ्यक्रम व अध्याय:
- अध्याय 1: संबंध एवं फलन (Relations and Functions)
- अध्याय 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions)
- अध्याय 3: आव्यूह (Matrices)
- अध्याय 4: सारणिक (Determinants)
- अध्याय 5: सांतत्य तथा अवकलनीयता (Continuity and Differentiability)
- अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)
समय: 3:00 घंटे | पूर्णांक: 80
अध्याय 1 — संबंध एवं फलन: संयोजन तथा व्युत्क्रमणीय फलन, संबंधों के प्रकार तथा फलनों के प्रकार।
अध्याय 2 — प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन: आधारभूत संकल्पनाएँ तथा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म।
अध्याय 3 — आव्यूह: आव्यूह, आव्यूहों के प्रकार, आव्यूहों पर संक्रियाएँ, आव्यूह का परिवर्त, सममित तथा विषम सममित आव्यूह एवं व्युत्क्रमणीय आव्यूह।
अध्याय 4 — सारणिक: सारणिक, त्रिभुज का क्षेत्रफल, उपसारणिक एवं सहखंड, आव्यूह के सहखंडज एवं व्युत्क्रम तथा सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग।
अध्याय 5 — सांतत्य तथा अवकलनीयता: सांतत्य, अवकलनीयता, चरघातांकी तथा लघुगणकीय फलन, लघुगणकीय अवकलन, प्राचलिक फलनों के अवकलज एवं द्वितीय कोटि का अवकलज।
अध्याय 6 — अवकलज के अनुप्रयोग: राशियों के परिवर्तन की दर, वर्धमान एवं ह्रासमान फलन तथा उच्चतम एवं निम्नतम।
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
- प्रश्न 1 से 5 तक कुल 32 वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।
- प्रश्न 6 से 15 तक प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है।
- प्रश्न 16 से 19 तक प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है तथा प्रत्येक में अथवा प्रश्न है।
- प्रश्न 20 से 23 तक प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है तथा प्रत्येक में अथवा प्रश्न है।
- आवश्यकतानुसार सूत्र, गणना तथा उचित चरण स्पष्ट रूप से लिखिए।
- जहाँ आवश्यक हो, ग्राफ अथवा आकृति बनाइए।
प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए। (6 × 1 = 6)
(i) यदि f : A → B एक-एक फलन है, तो—
(अ) प्रत्येक दो भिन्न अवयवों की छवियाँ समान होती हैं
(ब) भिन्न अवयवों की छवियाँ भिन्न होती हैं
(स) f का कोई प्रतिलोम नहीं होता
(द) A = ∅
मॉडल उत्तर: (ब) भिन्न अवयवों की छवियाँ भिन्न होती हैं।
(ii) sin−1(1/2) का मुख्य मान है—
(अ) π/6 (ब) π/3 (स) π/2 (द) π
मॉडल उत्तर: (अ) π/6
(iii) यदि A एक 2 × 3 आव्यूह है, तो AT की कोटि होगी—
(अ) 2 × 3 (ब) 3 × 2 (स) 2 × 2 (द) 3 × 3
मॉडल उत्तर: (ब) 3 × 2
(iv) यदि किसी वर्ग आव्यूह A के लिए |A| = 0 हो, तो A है—
(अ) एकक आव्यूह (ब) व्युत्क्रमणीय आव्यूह (स) एकवाची आव्यूह (द) विकर्ण आव्यूह
मॉडल उत्तर: (स) एकवाची आव्यूह
(v) यदि f(x) = x2 + 3x है, तो f'(x) है—
(अ) 2x + 3 (ब) x + 3 (स) 2x (द) x2
मॉडल उत्तर: (अ) 2x + 3
(vi) यदि किसी अंतराल में f'(x) > 0 है, तो फलन उस अंतराल में—
(अ) ह्रासमान (ब) वर्धमान (स) नियत (द) अपरिभाषित
मॉडल उत्तर: (ब) वर्धमान
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए। (6 × 1 = 6)
(i) किसी संबंध R में यदि (a,b) ∈ R होने पर (b,a) ∈ R हो, तो R ________ संबंध कहलाता है।
मॉडल उत्तर: सममित
(ii) tan−1 x का परिसर ________ है।
मॉडल उत्तर: (−π/2, π/2)
(iii) किसी आव्यूह के विकर्ण के अवयवों का योग उसका ________ कहलाता है।
मॉडल उत्तर: ट्रेस
(iv) 2 × 2 आव्यूह A के व्युत्क्रम के अस्तित्व के लिए |A| ________ होना चाहिए।
मॉडल उत्तर: शून्येतर
(v) यदि कोई फलन x = a पर सांतत्य है, तो ________ = f(a)।
मॉडल उत्तर: limx→a f(x)
(vi) यदि f'(x) < 0 हो, तो फलन ________ होता है।
मॉडल उत्तर: ह्रासमान
प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए। (6 × 1 = 6)
(i) प्रत्येक फलन एक संबंध होता है।
मॉडल उत्तर: सत्य
(ii) sin−1(sin x) = x सभी वास्तविक x के लिए सत्य है।
मॉडल उत्तर: असत्य
(iii) किसी आव्यूह का परिवर्त लेने पर उसकी कोटि बदल जाती है।
मॉडल उत्तर: असत्य
(iv) |AB| = |A||B| होता है।
मॉडल उत्तर: सत्य
(v) प्रत्येक अवकलनीय फलन सांतत्य होता है।
मॉडल उत्तर: सत्य
(vi) यदि किसी बिंदु पर f'(x) = 0 है, तो वह बिंदु हमेशा अधिकतम या न्यूनतम का बिंदु होता है।
मॉडल उत्तर: असत्य
प्रश्न 4. सही जोड़ी मिलाइए। (7 × 1 = 7)
| स्तम्भ 'अ' | स्तम्भ 'ब' |
|---|---|
| (i) sin−1(0) | (अ) π/2 |
| (ii) cos−1(0) | (ब) 0 |
| (iii) tan−1(1) | (स) π/4 |
| (iv) |I| | (द) 1 |
| (v) d(x2)/dx | (इ) 2x |
| (vi) d(sin x)/dx | (फ) cos x |
| (vii) A + AT | (ग) सममित आव्यूह |
मॉडल उत्तर: (i)-ब, (ii)-अ, (iii)-स, (iv)-द, (v)-इ, (vi)-फ, (vii)-ग
प्रश्न 5. एक वाक्य में उत्तर दीजिए। (7 × 1 = 7)
(i) सर्वांगसम संबंध किसे कहते हैं?
मॉडल उत्तर: जो संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक तीनों गुणों को संतुष्ट करता है, सर्वांगसम संबंध कहलाता है।
(ii) cos−1(1) का मान लिखिए।
मॉडल उत्तर: 0
(iii) शून्य आव्यूह किसे कहते हैं?
मॉडल उत्तर: जिस आव्यूह के सभी अवयव शून्य हों, उसे शून्य आव्यूह कहते हैं।
(iv) सारणिक का मान किस प्रकार के आव्यूह के लिए परिभाषित होता है?
मॉडल उत्तर: सारणिक केवल वर्ग आव्यूह के लिए परिभाषित होता है।
(v) किसी फलन के सांतत्य की एक आवश्यक शर्त लिखिए।
मॉडल उत्तर: x = a पर फलन के सांतत्य के लिए limx→af(x) = f(a) होना आवश्यक है।
(vi) d(ex)/dx का मान क्या है?
मॉडल उत्तर: ex
(vii) किसी फलन के उच्चतम बिंदु को क्या कहते हैं?
मॉडल उत्तर: फलन का उच्चतम मान प्राप्त करने वाले बिंदु को अधिकतम बिंदु कहते हैं।
प्रश्न 6 से 15 — प्रत्येक 2 अंक
प्रश्न 6. एक-एक तथा आच्छादक फलन को परिभाषित कीजिए।
मॉडल उत्तर (लगभग 30–40 शब्द): यदि f(a) = f(b) से a = b प्राप्त हो, तो f एक-एक फलन है। यदि सहप्रान्त B का प्रत्येक अवयव A के किसी अवयव की छवि हो, तो f आच्छादक फलन कहलाता है।
प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि tan−1x + cot−1x = π/2, जहाँ x > 0 है।
मॉडल उत्तर: मान लें θ = tan−1x। तब tan θ = x। अतः cot θ = 1/x और cot−1x = π/2 − θ। इसलिए tan−1x + cot−1x = π/2।
प्रश्न 8. यदि A = [1 2; 3 4], तो AT ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर: पंक्तियों और स्तम्भों को परस्पर बदलने पर
AT = [1 3; 2 4]
प्रश्न 9. सममित और विषम सममित आव्यूह की परिभाषा लिखिए।
मॉडल उत्तर: यदि AT = A हो, तो A सममित आव्यूह है। यदि AT = −A हो, तो A विषम सममित आव्यूह कहलाता है।
प्रश्न 10. सारणिक |1 2; 3 4| का मान ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर: |A| = (1×4) − (2×3) = 4 − 6 = −2।
प्रश्न 11. किसी फलन के सांतत्य की तीन शर्तें लिखिए।
मॉडल उत्तर: x = a पर सांतत्य के लिए (1) f(a) परिभाषित हो, (2) limx→af(x) अस्तित्व रखती हो, तथा (3) limx→af(x) = f(a) हो।
प्रश्न 12. यदि y = xx हो, तो log द्वारा अवकलन कीजिए।
मॉडल उत्तर: y = xx
log y = x log x
1/y · dy/dx = log x + 1
अतः dy/dx = xx(log x + 1)।
प्रश्न 13. फलन f(x) = x2 − 4x + 3 के वर्धमान तथा ह्रासमान अंतराल ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर: f'(x) = 2x − 4 = 2(x−2)।
x < 2 के लिए f'(x) < 0, अतः फलन (−∞,2) में ह्रासमान है।
x > 2 के लिए f'(x) > 0, अतः फलन (2,∞) में वर्धमान है।
प्रश्न 14. यदि y = sin(x2) है, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर: श्रृंखला नियम से
dy/dx = cos(x2) × d(x2)/dx
अतः dy/dx = 2x cos(x2)।
प्रश्न 15. दो फलनों f(x) = x + 1 तथा g(x) = 2x के लिए (f∘g)(x) ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर: (f∘g)(x) = f[g(x)] = f(2x) = 2x + 1।
प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए कि sin−1x + cos−1x = π/2, जहाँ −1 ≤ x ≤ 1 है। (3 अंक)
मॉडल उत्तर (लगभग 50–70 शब्द): मान लें θ = sin−1x। तब sin θ = x, जहाँ θ ∈ [−π/2, π/2]। अब cos(π/2 − θ) = sin θ = x। अतः cos−1x = π/2 − θ। इसलिए sin−1x + cos−1x = θ + (π/2 − θ) = π/2।
अथवा — सिद्ध कीजिए कि tan−1x + tan−1y = tan−1((x+y)/(1−xy)), जब xy < 1 हो।
मॉडल उत्तर: मान लें α = tan−1x तथा β = tan−1y। तब tan α = x और tan β = y। अतः
tan(α+β) = (tan α + tan β)/(1−tan α tan β)
= (x+y)/(1−xy)।
अतः α+β = tan−1((x+y)/(1−xy))।
प्रश्न 17. आव्यूह A = [2 1; 1 2] का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। (3 अंक)
मॉडल उत्तर:
A = [2 1; 1 2]
|A| = 4 − 1 = 3 ≠ 0
adj A = [2 −1; −1 2]
अतः A−1 = (1/|A|) adj A
A−1 = 1/3 [2 −1; −1 2]
अथवा — सिद्ध कीजिए कि किसी आव्यूह A को सममित तथा विषम सममित आव्यूहों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
मॉडल उत्तर: किसी वर्ग आव्यूह A के लिए
A = ½(A + AT) + ½(A − AT)।
यहाँ ½(A + AT) सममित तथा ½(A − AT) विषम सममित आव्यूह है। अतः प्रत्येक वर्ग आव्यूह को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रश्न 18. सारणिक |2 3; 1 4| का मान ज्ञात कीजिए तथा इसके आधार पर बताइए कि आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं। (3 अंक)
मॉडल उत्तर:
|A| = (2×4) − (3×1)
= 8 − 3 = 5।
चूँकि |A| = 5 ≠ 0, इसलिए दिया गया आव्यूह व्युत्क्रमणीय है और उसका व्युत्क्रम अस्तित्व रखता है।
अथवा — बिंदुओं (1,2), (3,4) तथा (5,1) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
क्षेत्रफल = ½ |x1(y2−y3) + x2(y3−y1) + x3(y1−y2)|
= ½ |1(4−1) + 3(1−2) + 5(2−4)|
= ½ |3−3−10|
= 5 वर्ग इकाई।
प्रश्न 19. फलन y = x2ex का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए। (3 अंक)
मॉडल उत्तर:
y = x2ex
प्रथम अवकलज:
y' = exx2 + ex2x
= ex(x2 + 2x)
अब पुनः अवकलन करने पर—
y'' = ex(x2 + 2x) + ex(2x + 2)
अतः y'' = ex(x2 + 4x + 2)।
अथवा — यदि x = a cos θ तथा y = a sin θ हो, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
dx/dθ = −a sin θ तथा dy/dθ = a cos θ।
अतः dy/dx = (dy/dθ)/(dx/dθ)
= a cos θ/(−a sin θ)
dy/dx = −cot θ।
प्रश्न 20. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = x3 − 3x2 + 2 वर्धमान तथा ह्रासमान है। (4 अंक)
मॉडल उत्तर (लगभग 100 शब्द):
दिया है f(x) = x3 − 3x2 + 2।
f'(x) = 3x2 − 6x = 3x(x−2)।
अब f'(x) = 0 के लिए x = 0, 2।
यदि x < 0, तो f'(x) > 0, अतः फलन (−∞,0) में वर्धमान है।
यदि 0 < x < 2, तो f'(x) < 0, अतः फलन (0,2) में ह्रासमान है।
यदि x > 2, तो f'(x) > 0, अतः फलन (2,∞) में वर्धमान है।
अतः फलन (−∞,0) तथा (2,∞) में वर्धमान और (0,2) में ह्रासमान है।
अथवा — फलन f(x) = x2 − 4x + 5 का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
f(x) = x2 − 4x + 5
f'(x) = 2x − 4।
f'(x) = 0 से x = 2।
f''(x) = 2 > 0। अतः x = 2 पर फलन का न्यूनतम मान है।
f(2) = 4 − 8 + 5 = 1।
अतः फलन का न्यूनतम मान 1 है।
प्रश्न 21. यदि y = (x2 + 1)x, तो dy/dx ज्ञात कीजिए। (4 अंक)
मॉडल उत्तर:
दिया है y = (x2 + 1)x।
लघुगणक लेने पर—
log y = x log(x2 + 1)।
दोनों पक्षों का अवकलन:
(1/y)dy/dx = log(x2 + 1) + x × [2x/(x2 + 1)]।
अतः
dy/dx = (x2 + 1)x[log(x2 + 1) + 2x2/(x2 + 1)]।
अथवा — यदि x = a(t + sin t), y = a(1 − cos t), तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
dx/dt = a(1 + cos t)
dy/dt = a sin t
अतः dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
= a sin t/[a(1 + cos t)]
= sin t/(1 + cos t)
dy/dx = tan(t/2)।
प्रश्न 22. एक गुब्बारे की त्रिज्या 0.5 cm/s की दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या 10 cm है, तब उसके आयतन के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए। (4 अंक)
मॉडल उत्तर:
गोले का आयतन V = 4/3 πr3।
दोनों पक्षों का समय के सापेक्ष अवकलन:
dV/dt = 4πr2 dr/dt।
दिया है r = 10 cm तथा dr/dt = 0.5 cm/s।
अतः dV/dt = 4π(10)2(0.5)
= 200π cm3/s।
अतः आयतन के बढ़ने की दर 200π cm3/s है।
अथवा — सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = x + 1/x, x > 0 का न्यूनतम मान 2 है।
मॉडल उत्तर:
f(x) = x + 1/x
f'(x) = 1 − 1/x2।
f'(x) = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1, क्योंकि x > 0।
f''(x) = 2/x3। x = 1 पर f''(1) = 2 > 0। अतः x = 1 पर न्यूनतम मान प्राप्त होगा।
f(1) = 1 + 1 = 2।
अतः न्यूनतम मान 2 है।
प्रश्न 23. समीकरणों 2x + y = 5 तथा 3x + 2y = 8 को आव्यूह विधि से हल कीजिए। (4 अंक)
मॉडल उत्तर:
दिए गए समीकरण—
2x + y = 5
3x + 2y = 8
आव्यूह रूप में AX = B,
A = [2 1; 3 2],
X = [x; y],
B = [5; 8]।
|A| = 2×2 − 1×3 = 1।
अतः A−1 = [2 −1; −3 2]।
अब X = A−1B।
X = [2 −1; −3 2][5;8]
= [10−8; −15+16]
= [2;1]।
अतः x = 2 तथा y = 1।
अथवा — सारणिकों की सहायता से समीकरण 2x + 3y = 7 तथा x − y = 1 को हल कीजिए।
मॉडल उत्तर:
दिए गए समीकरण:
2x + 3y = 7 तथा x − y = 1।
D = |2 3; 1 −1| = −2 − 3 = −5।
Dx = |7 3; 1 −1| = −7 − 3 = −10।
Dy = |2 7; 1 1| = 2 − 7 = −5।
क्रैमर के नियम से
x = Dx/D = (−10)/(−5) = 2
y = Dy/D = (−5)/(−5) = 1।
अतः x = 2, y = 1।
प्रश्नपत्र का अंक-विभाजन
| प्रश्न | प्रश्न का प्रकार | कुल अंक |
|---|---|---|
| 1 | सही विकल्प — 6 | 6 |
| 2 | रिक्त स्थान — 6 | 6 |
| 3 | सत्य/असत्य — 6 | 6 |
| 4 | सही जोड़ी — 7 | 7 |
| 5 | एक वाक्य में उत्तर — 7 | 7 |
| 6–15 | 2 अंक वाले प्रश्न | 20 |
| 16–19 | 3 अंक वाले प्रश्न | 12 |
| 20–23 | 4 अंक वाले प्रश्न | 16 |
| कुल | 80 | |
यह प्रश्नपत्र अभ्यास एवं मॉडल पेपर के उद्देश्य से तैयार किया गया है। इसे उपलब्ध कराई गई कक्षा 12वीं गणित की पाठ्यक्रम सामग्री तथा MP Board द्वारा उपलब्ध कराई गई प्रश्न-पत्र संरचना/अंक योजना के आधार पर शैक्षणिक अभ्यास के लिए तैयार किया गया है।
यह आवश्यक नहीं है कि वास्तविक त्रैमासिक परीक्षा में यही प्रश्न, यही संख्यात्मक प्रश्न अथवा इसी क्रम में प्रश्न पूछे जाएँ। वास्तविक परीक्षा में प्रश्नों की भाषा, क्रम, कठिनाई स्तर तथा प्रश्नों का चयन संबंधित विभाग/विद्यालय के निर्देशों के अनुसार अलग हो सकता है।
दिए गए मॉडल उत्तर प्रश्न के निर्धारित अंक एवं सामान्य अपेक्षित उत्तर-सीमा को ध्यान में रखकर तैयार किए गए हैं। गणित में केवल अंतिम उत्तर के साथ-साथ आवश्यक सूत्र, गणना के चरण, तर्क तथा उचित गणितीय प्रक्रिया लिखना महत्वपूर्ण है।
मॉडल उत्तर को किसी भी स्थिति में एकमात्र स्वीकार्य उत्तर न माना जाए। गणितीय रूप से सही वैकल्पिक विधि अथवा समतुल्य समाधान भी स्वीकार्य हो सकता है। अंतिम मूल्यांकन संबंधित परीक्षा की आधिकारिक अंक योजना एवं मूल्यांकन निर्देशों के अनुसार होगा।
परीक्षा से संबंधित नवीनतम पाठ्यक्रम, अंक योजना एवं विभागीय निर्देशों के लिए संबंधित विभाग/माध्यमिक शिक्षा मण्डल के आधिकारिक निर्देशों को ही अंतिम एवं मान्य माना जाए।
0 Comments