कक्षा 12वीं गणित (Maths) | प्री-बोर्ड 2026 | सम्पूर्ण हल (सभी प्रश्न)
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Class 12 Maths Pre-Board Solution 2026
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इस पोस्ट में कक्षा 12वीं गणित (Maths) की प्री-बोर्ड परीक्षा 2026 के लिए सभी प्रश्नों के सम्पूर्ण हल उपलब्ध कराए जा रहे हैं। यह सामग्री विद्यार्थियों को परीक्षा से पहले अभ्यास, रिवीजन और सही उत्तर लेखन शैली समझने में सहायता करेगी।
इस पोस्ट का उद्देश्य
- प्री-बोर्ड परीक्षा के सभी प्रश्नों के हल एक ही स्थान पर उपलब्ध कराना
- गणित में स्टेप-बाय-स्टेप समाधान की आदत विकसित करना
- बोर्ड परीक्षा के लिए आत्मविश्वास बढ़ाना
कक्षा 12वीं गणित प्री-बोर्ड हल कैसे उपयोग करें?
जिस प्रश्न का हल देखना चाहते हैं, उसे ध्यान से पढ़ें। कुछ प्रश्न पुरे नहीं दिए जा सके हैं, कृपया अपने प्रश्नपत्र में देखे.
दिए गए हल में Given, Formula, Calculation और Final Answer का क्रम समझें।
इसी क्रम में अपने उत्तर लिखने का अभ्यास करें।
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कक्षा 12वीं गणित (Maths) | प्री-बोर्ड 2026 | सम्पूर्ण हल (सभी प्रश्न)
प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए (1x6=6)
1.i यदि f:R→R, f(x)=x³ द्वारा परिभाषित है, तो f है:
▼
(A) एकैकी आच्छादक (One-one onto)
व्याख्या: घन फलन (Cubic function) R से R में हमेशा एकैकी और आच्छादक होता है।
व्याख्या: घन फलन (Cubic function) R से R में हमेशा एकैकी और आच्छादक होता है।
1.ii tan⁻¹(√3) - sec⁻¹(-2) का मुख्य मान है:
▼
(B) -π/3
हल: tan⁻¹(√3) = π/3 और sec⁻¹(-2) = π - π/3 = 2π/3
अतः π/3 - 2π/3 = -π/3
हल: tan⁻¹(√3) = π/3 और sec⁻¹(-2) = π - π/3 = 2π/3
अतः π/3 - 2π/3 = -π/3
1.iii यदि आव्यूह A=[aᵢⱼ]₂ₓ₂ इस प्रकार है कि aᵢⱼ = i+j, तो A किसके बराबर है?
▼
(B)
हल: a₁₁=1+1=2, a₁₂=1+2=3, a₂₁=2+1=3, a₂₂=2+2=4
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
हल: a₁₁=1+1=2, a₁₂=1+2=3, a₂₁=2+1=3, a₂₂=2+2=4
1.iv यदि A =
, और यदि A²¹ = 2ⁿ A है, तो n का मान होगा:
▼
| 1 | 1 |
| 1 | 1 |
(c) 20
हल: इस आव्यूह के लिए Aⁿ = 2ⁿ⁻¹ A होता है। यहाँ घात 21 है, तो n = 21-1 = 20 होगा।
हल: इस आव्यूह के लिए Aⁿ = 2ⁿ⁻¹ A होता है। यहाँ घात 21 है, तो n = 21-1 = 20 होगा।
1.v फलन f(x) = x³-3x²+3x-1 के लिए अंतराल (-∞, ∞) में फलन है:
▼
(D) वर्धमान (Increasing)
हल: f'(x) = 3(x-1)² जो सदैव धनात्मक या शून्य है।
हल: f'(x) = 3(x-1)² जो सदैव धनात्मक या शून्य है।
1.vi यदि P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.3, तो P(A|B) बराबर है:
▼
(A) 0.6
हल: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.3/0.5 = 0.6
हल: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.3/0.5 = 0.6
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (1x6=6)
2.i f:X→Y आच्छादक फलन होगा यदि और केवल यदि f का परिसर = ______
▼Y (सहप्रान्त / Co-domain)
2.ii यदि A कोटि 3 का विकर्ण आव्यूह है जिसके विकर्ण अवयव 2, -1, 3 हैं, तो det(A) = ______
▼-6 (गुणनफल: 2 × -1 × 3)
2.iii सदिश a=2i+3j-k और b=4i+λj+μk परस्पर लंब होंगे यदि 8+3λ-μ = ______
▼0 (शून्य)
2.iv अवकल समीकरण dy/dx = 2 का व्यापक हल ______ है।
▼y = 2x + C
2.v यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो उस बिंदु पर वह फलन ______ होगा।
▼संतत (Continuous)
2.vi अवकल समीकरण 2x(d²y/dx²) + 5 = 0 की घात ______ है।
▼1 (एक)
प्रश्न 3. सत्य/असत्य लिखिए (1x6=6)
3.i प्रत्येक एकैकी आच्छादक फलन व्युत्क्रमणीय होता है।
▼सत्य (True)
3.ii ∫ sec x dx = log|sec x + tan x| + c है।
▼सत्य (True)
3.iii फलन f(x)=x|x|, x=0 पर अवकलनीय है।
▼सत्य (True)
3.iv अवकल समीकरण d²y/dx² + (dy/dx)³ + 2y = 0 की कोटि 3 है।
▼असत्य (False) (कोटि 2 है)
3.v सदिश i × j = 0 होता है।
▼असत्य (False) (यह k होता है)
3.vi दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी सदैव शून्य होती है।
▼असत्य (False) (केवल संपाती रेखाओं में शून्य होती है)
प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए (1x7=7)
सही जोड़ी का मिलान देखें
▼- (i) ∫ (1/x) dx → (b) log|x| + C
- (ii) ∫ sin x dx → (a) -cos x + C
- (iii) ∫ eˣ dx → (d) eˣ + C
- (iv) ∫ sec²x dx → (c) tan x + C
- (v) ∫ 1/(1+x²) dx → (f) tan⁻¹x + C
- (vi) ∫ 1/√(1-x²) dx → (e) sin⁻¹x + C
- (vii) ∫ aˣ dx → (g) aˣ/logₑa + C
प्रश्न 5. एक वाक्य में उत्तर दीजिए (1x7=7)
5.i 2 cos⁻¹(1/2) का मान ज्ञात कीजिए।
▼2π/3
5.ii यदि A =
, तो adj A का मान लिखिए।
▼| 2 | 0 |
| 0 | 3 |
| 3 | 0 |
| 0 | 2 |
5.iii आव्यूह के पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलने पर प्राप्त आव्यूह को क्या कहते हैं?
▼परिवर्त आव्यूह (Transpose Matrix)
5.iv अवकल समीकरण dy/dx = e^{x+y} का व्यापक हल लिखिए।
▼e^x + e^{-y} = C
5.v सदिश a=i-2j+3k और b=3i-2j+k का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।
▼10
5.vi P(A|B) का मान ज्ञात कीजिए यदि P(B)=0.7 और P(A∩B)=0.1
▼1/7
5.vii यदि घन के किनारे की लंबाई x है, तो आयतन परिवर्तन की दर क्या होगी? (x=10)
▼300 cm³/sec
खंड ब: विषयनिष्ठ प्रश्न (2/3/4 अंक)
प्र.6 सिद्ध कीजिए कि फलन f:R→R, f(x)=3x-2 एकैकी आच्छादक है।
▼
एकैकी (One-one): माना f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3x₁ - 2 = 3x₂ - 2 ⇒ 3x₁ = 3x₂ ⇒ x₁ = x₂. अतः f एकैकी है।
आच्छादक (Onto): माना y ∈ R. 3x - 2 = y ⇒ x = (y+2)/3. चूँकि y वास्तविक है, x भी वास्तविक होगा। अतः f आच्छादक है।
आच्छादक (Onto): माना y ∈ R. 3x - 2 = y ⇒ x = (y+2)/3. चूँकि y वास्तविक है, x भी वास्तविक होगा। अतः f आच्छादक है।
अथवा दर्शाइए कि एकैकी फलन f:{1,2,3}→{1,2,3} सदैव आच्छादक होता है।
▼
चूँकि समुच्चय परिमित है और फलन एकैकी है, इसलिए प्रान्त के भिन्न अवयवों के प्रतिबिम्ब भी भिन्न होंगे। चूँकि प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान (3) है, इसलिए सहप्रान्त का कोई भी अवयव बिना पूर्व-प्रतिबिम्ब के नहीं बचेगा। अतः फलन आच्छादक है।
प्र.7 सिद्ध कीजिए: 3 cos⁻¹x = cos⁻¹(4x³-3x)
▼
माना x = cos θ ⇒ θ = cos⁻¹x.
RHS = cos⁻¹(4 cos³θ - 3 cos θ)
सूत्र से, 4 cos³θ - 3 cos θ = cos 3θ
= cos⁻¹(cos 3θ) = 3θ = 3 cos⁻¹x = LHS.
RHS = cos⁻¹(4 cos³θ - 3 cos θ)
सूत्र से, 4 cos³θ - 3 cos θ = cos 3θ
= cos⁻¹(cos 3θ) = 3θ = 3 cos⁻¹x = LHS.
अथवा tan⁻¹[1/√(x²-1)] का सरलतम रूप लिखिए।
▼
माना x = cosec θ ⇒ θ = cosec⁻¹x.
= tan⁻¹[1/√(cosec²θ-1)] = tan⁻¹[1/cot θ]
= tan⁻¹[tan θ] = θ = cosec⁻¹x.
= tan⁻¹[1/√(cosec²θ-1)] = tan⁻¹[1/cot θ]
= tan⁻¹[tan θ] = θ = cosec⁻¹x.
प्र.8 sin⁻¹(sin 2π/3) का मान ज्ञात कीजिए।
▼
2π/3 मुख्य मान शाखा में नहीं है।
sin(2π/3) = sin(π - π/3) = sin(π/3).
अतः, sin⁻¹(sin π/3) = π/3.
sin(2π/3) = sin(π - π/3) = sin(π/3).
अतः, sin⁻¹(sin π/3) = π/3.
अथवा cos⁻¹(cos 7π/6) का मान ज्ञात कीजिए।
▼
cos(7π/6) = cos(2π - 5π/6) = cos(5π/6).
अतः, cos⁻¹(cos 5π/6) = 5π/6.
अतः, cos⁻¹(cos 5π/6) = 5π/6.
प्र.9 sin[cos(x²)] का अवकलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
▼
d/dx { sin(cos x²) }
= cos(cos x²) · d/dx(cos x²)
= cos(cos x²) · [-sin(x²)] · d/dx(x²)
= -2x · sin(x²) · cos(cos x²).
= cos(cos x²) · d/dx(cos x²)
= cos(cos x²) · [-sin(x²)] · d/dx(x²)
= -2x · sin(x²) · cos(cos x²).
अथवा cos[sin(x³)] का x² के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए।
▼
माना u = cos(sin x³), v = x².
du/dx = -sin(sin x³) · cos(x³) · 3x².
dv/dx = 2x.
du/dv = (du/dx)/(dv/dx) = -(3/2)x sin(sin x³) cos(x³).
du/dx = -sin(sin x³) · cos(x³) · 3x².
dv/dx = 2x.
du/dv = (du/dx)/(dv/dx) = -(3/2)x sin(sin x³) cos(x³).
प्र.10 दर्शाइए कि f(x) = x³-6x²+15x+7 निरंतर वर्धमान फलन है।
▼
f'(x) = 3x² - 12x + 15 = 3(x² - 4x + 5)
= 3[(x-2)² + 1]
चूँकि पूर्ण वर्ग (x-2)² ≥ 0, अतः f'(x) > 0. इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
= 3[(x-2)² + 1]
चूँकि पूर्ण वर्ग (x-2)² ≥ 0, अतः f'(x) > 0. इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है।
अथवा दर्शाइए कि f(x) = 20x - 7 निरंतर वर्धमान फलन है।
▼
f'(x) = 20.
चूँकि 20 > 0, इसलिए फलन R पर निरंतर वर्धमान है।
चूँकि 20 > 0, इसलिए फलन R पर निरंतर वर्धमान है।
प्र.11एक वृत्त की त्रिज्या 0.5 cm/sec की दर से बदल रही है। इसके क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर क्या है? जबकि त्रिज्या 2 सेमी है ।(r=2, dr/dt=0.5)।
▼
क्षेत्रफल A = πr²
dA/dt = 2πr (dr/dt)
= 2π(2)(0.5) = 2π cm²/sec.
dA/dt = 2πr (dr/dt)
= 2π(2)(0.5) = 2π cm²/sec.
अथवा गुब्बारे के आयतन परिवर्तन की दर ज्ञात करें (r=5, dr/dx=0.2)।
▼
आयतन V = (4/3)πr³
dV/dx = 4πr² (dr/dx)
= 4π(25)(0.2) = 20π.
dV/dx = 4πr² (dr/dx)
= 4π(25)(0.2) = 20π.
प्र.12 समाकलन गुणांक ज्ञात कीजिए: x(dy/dx) + 3y = x² log x
▼
x से भाग देने पर: dy/dx + (3/x)y = x log x
तुलना करने पर P = 3/x.
समाकलन गुणांक (I.F.) = e^(∫ P dx) = e^(∫ 3/x dx)
= e^(3 log x) = e^(log x³) = x³.
तुलना करने पर P = 3/x.
समाकलन गुणांक (I.F.) = e^(∫ P dx) = e^(∫ 3/x dx)
= e^(3 log x) = e^(log x³) = x³.
अथवा अवकल समीकरण dy/dx = (1+y²)/(1+x²) का व्यापक हल।
▼
चरों को पृथक करने पर: dy/(1+y²) = dx/(1+x²)
समाकलन करने पर: tan⁻¹y = tan⁻¹x + C.
समाकलन करने पर: tan⁻¹y = tan⁻¹x + C.
प्र.13 सदिश 2i+3j+4k की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
▼
मापांक |r| = √(4+9+16) = √29.
दिक्-कोसाइन: 2/√29, 3/√29, 4/√29.
दिक्-कोसाइन: 2/√29, 3/√29, 4/√29.
अथवा सदिश i+2j+3k का सदिश 4i-2j+4k पर प्रक्षेप।
▼
प्रक्षेप = (a·b) / |b|
= [(1)(4)+(2)(-2)+(3)(4)] / √(16+4+16)
= (4-4+12) / 6 = 2.
= [(1)(4)+(2)(-2)+(3)(4)] / √(16+4+16)
= (4-4+12) / 6 = 2.
प्र.14 बिंदु (3,-2,4) से जाने वाली और 2i+j-3k के समांतर रेखा का सदिश समीकरण।
▼
a = 3i-2j+4k, b = 2i+j-3k.
समीकरण: r = a + λb
उत्तर: r = (3i-2j+4k) + λ(2i+j-3k).
समीकरण: r = a + λb
उत्तर: r = (3i-2j+4k) + λ(2i+j-3k).
अथवा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
▼
दिक्-अनुपात: b₁=(2,3,4), b₂=(3,4,5).
cos θ = |2(3)+3(4)+4(5)| / [√(4+9+16) √(9+16+25)]
= 38 / [√29 √50] = 38 / 5√58.
θ = cos⁻¹(38/5√58).
cos θ = |2(3)+3(4)+4(5)| / [√(4+9+16) √(9+16+25)]
= 38 / [√29 √50] = 38 / 5√58.
θ = cos⁻¹(38/5√58).
प्र.15 |a × b| का मान ज्ञात करें यदि a=2i+3j-k, b=i-2j+3k
▼
a × b = | i j k; 2 3 -1; 1 -2 3 |
= i(9-2) - j(6+1) + k(-4-3) = 7i - 7j - 7k.
|a × b| = √(49+49+49) = 7√3.
= i(9-2) - j(6+1) + k(-4-3) = 7i - 7j - 7k.
|a × b| = √(49+49+49) = 7√3.
अथवा |a| और |b| ज्ञात करें यदि (a+b)(a-b)=12 और |a|=5|b|
▼
(a+b)·(a-b) = |a|² - |b|² = 12.
(5|b|)² - |b|² = 12 ⇒ 24|b|² = 12 ⇒ |b| = 1/√2.
|a| = 5/√2.
(5|b|)² - |b|² = 12 ⇒ 24|b|² = 12 ⇒ |b| = 1/√2.
|a| = 5/√2.
प्र.16 आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि X [1 2 3; 4 5 6] = [-7 -8 -9; 2 4 6]
▼
माना X एक 2x2 आव्यूह है [[a, b], [c, d]].
गुणा करने पर समीकरण बनेंगे:
a+4b=-7, 2a+5b=-8... हल करने पर: a=1, b=-2.
c+4d=2, 2c+5d=4... हल करने पर: c=2, d=0.
अतः X = [[1, -2], [2, 0]].
गुणा करने पर समीकरण बनेंगे:
a+4b=-7, 2a+5b=-8... हल करने पर: a=1, b=-2.
c+4d=2, 2c+5d=4... हल करने पर: c=2, d=0.
अतः X = [[1, -2], [2, 0]].
अथवा सत्यापित कीजिए (AB)' = B'A'
▼
1. A और B का गुणा करके (AB) निकालें, फिर उसका परिवर्त (Transpose) लें।
2. A' और B' निकालें, फिर उनका गुणा B'A' करें।
3. दोनों परिणाम समान प्राप्त होंगे।
2. A' और B' निकालें, फिर उनका गुणा B'A' करें।
3. दोनों परिणाम समान प्राप्त होंगे।
प्र.17 Z=-50x+20y का न्यूनतम मान (आलेखीय विधि)।
▼
व्यवरोधों का ग्राफ खींचें और सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु निकालें।
प्रत्येक बिंदु पर Z का मान रखकर न्यूनतम मान चुनें।
प्रत्येक बिंदु पर Z का मान रखकर न्यूनतम मान चुनें।
अथवा Z=3x+2y का अधिकतम मान।
▼
कोणीय बिंदु: (0,0), (5,0), (0,5), (4,3)।
Z(0,0)=0, Z(5,0)=15, Z(0,5)=10, Z(4,3)=12+6=18.
अधिकतम मान 18 है।
Z(0,0)=0, Z(5,0)=15, Z(0,5)=10, Z(4,3)=12+6=18.
अधिकतम मान 18 है।
प्र.18 वक्र y=x² और रेखा y=2x का क्षेत्रफल।
▼
प्रतिच्छेद बिंदु: x²=2x ⇒ x=0, 2.
क्षेत्रफल = ∫₀² (2x - x²) dx
= [x² - x³/3]₀²
= 4 - 8/3 = 4/3 वर्ग इकाई।
क्षेत्रफल = ∫₀² (2x - x²) dx
= [x² - x³/3]₀²
= 4 - 8/3 = 4/3 वर्ग इकाई।
अथवा दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल (प्रथम चतुर्थांश)।
▼
वक्र y = 3/2 √(4-x²), सीमा 0 से 2.
क्षेत्रफल = ∫₀² 3/2 √(2²-x²) dx
= 3/2 [x/2 √(4-x²) + 2 sin⁻¹(x/2)]₀²
= 3/2 [0 + 2(π/2)] = 3π/2 वर्ग इकाई।
क्षेत्रफल = ∫₀² 3/2 √(2²-x²) dx
= 3/2 [x/2 √(4-x²) + 2 sin⁻¹(x/2)]₀²
= 3/2 [0 + 2(π/2)] = 3π/2 वर्ग इकाई।
प्र.19 प्रायिकता (सत्य बोलने की)।
▼
बेज प्रमेय का प्रयोग:
P(E|S1) = 4/5 (सच), P(E|S2) = 1/5 (झूठ)
P(S1|E) = (1/6 × 4/5) / [(1/6 × 4/5) + (5/6 × 1/5)]
= (4/30) / (9/30) = 4/9.
P(E|S1) = 4/5 (सच), P(E|S2) = 1/5 (झूठ)
P(S1|E) = (1/6 × 4/5) / [(1/6 × 4/5) + (5/6 × 1/5)]
= (4/30) / (9/30) = 4/9.
अथवा पासे पर संख्या 2 आने की प्रायिकता (योग 7)।
▼
कुल संभव परिणाम (योग 7): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6.
अनुकूल परिणाम (2 वाले): (2,5), (5,2) = 2.
प्रायिकता = 2/6 = 1/3.
अनुकूल परिणाम (2 वाले): (2,5), (5,2) = 2.
प्रायिकता = 2/6 = 1/3.
प्र.20 सांतत्यता के लिए a और b में संबंध (x=3 पर)।
▼
LHL = lim(x→3⁻) ax+b = 3a+b.
RHL = lim(x→3⁺) bx-a = 3b-a.
दिया है f(3)=10. सांतत्य के लिए LHL=RHL=f(3).
3a+b=10 और 3b-a=10.
हल करने पर: a+2b=10 (या a=2, b=4)।
RHL = lim(x→3⁺) bx-a = 3b-a.
दिया है f(3)=10. सांतत्य के लिए LHL=RHL=f(3).
3a+b=10 और 3b-a=10.
हल करने पर: a+2b=10 (या a=2, b=4)।
अथवा अवकलन: y = x^x - 2^{sin x}
▼
माना u = x^x और v = 2^{sin x}.
du/dx = x^x(1 + log x)
dv/dx = 2^{sin x} log 2 cos x
dy/dx = x^x(1 + log x) - 2^{sin x} log 2 cos x.
du/dx = x^x(1 + log x)
dv/dx = 2^{sin x} log 2 cos x
dy/dx = x^x(1 + log x) - 2^{sin x} log 2 cos x.
प्र.21 आव्यूह विधि से हल कीजिए: 2x+3y+3z=5, x-2y+z=-4, 3x-y-2z=3
▼
चरण 1: AX = B रूप में लिखना
A =
,
X =
,
B =
A =
| 2 | 3 | 3 |
| 1 | -2 | 1 |
| 3 | -1 | -2 |
| x |
| y |
| z |
| 5 |
| -4 |
| 3 |
चरण 2: सारणिक |A| की गणना
|A| = 2(4+1) - 3(-2-3) + 3(-1+6)
|A| = 2(5) - 3(-5) + 3(5) = 10 + 15 + 15 = 40
|A| = 2(4+1) - 3(-2-3) + 3(-1+6)
|A| = 2(5) - 3(-5) + 3(5) = 10 + 15 + 15 = 40
चरण 3: सहखंडज (Adjoint A) निकालना
सहखंड:
A₁₁=5, A₁₂=5, A₁₃=5
A₂₁=3, A₂₂=-13, A₂₃=11
A₃₁=9, A₃₂=1, A₃₃=-7
Adj A =
सहखंड:
A₁₁=5, A₁₂=5, A₁₃=5
A₂₁=3, A₂₂=-13, A₂₃=11
A₃₁=9, A₃₂=1, A₃₃=-7
Adj A =
| 5 | 3 | 9 |
| 5 | -13 | 1 |
| 5 | 11 | -7 |
चरण 4: सूत्र X = A⁻¹B = (1/|A|) (Adj A) B
X = (1/40)
गुणा करने पर:
R1 = 25 - 12 + 27 = 40
R2 = 25 + 52 + 3 = 80
R3 = 25 - 44 - 21 = -40
X = (1/40) [40, 80, -40]' = [1, 2, -1]'
X = (1/40)
| 5 | 3 | 9 |
| 5 | -13 | 1 |
| 5 | 11 | -7 |
| 5 |
| -4 |
| 3 |
गुणा करने पर:
R1 = 25 - 12 + 27 = 40
R2 = 25 + 52 + 3 = 80
R3 = 25 - 44 - 21 = -40
X = (1/40) [40, 80, -40]' = [1, 2, -1]'
उत्तर: x = 1, y = 2, z = -1
अथवा फलों का मूल्य ज्ञात करें (आव्यूह विधि)।
▼
समीकरण:
3x + 2y + 4z = 200,
2x + 3y + z = 150,
x + y + z = 100.
इसे भी AX=B विधि से हल करें।
उत्तर: x=20, y=30, z=50 (रुपये/किग्रा)।
इसे भी AX=B विधि से हल करें।
उत्तर: x=20, y=30, z=50 (रुपये/किग्रा)।
प्र.22 मान ज्ञात करें: ∫₀⁴ |x-2| dx
▼
समाकलन को 2 पर तोड़ें:
I = ∫₀² -(x-2)dx + ∫₂⁴ (x-2)dx
= [-x²/2 + 2x]₀² + [x²/2 - 2x]₂⁴
= (2) + (2) = 4.
I = ∫₀² -(x-2)dx + ∫₂⁴ (x-2)dx
= [-x²/2 + 2x]₀² + [x²/2 - 2x]₂⁴
= (2) + (2) = 4.
अथवा मान ज्ञात करें: ∫ √(1-4x-x²) dx
▼
पूर्ण वर्ग: 1-4x-x² = 5 - (x+2)²
∫ √[5 - (x+2)²] dx
सूत्र: x/2 √(a²-x²) + a²/2 sin⁻¹(x/a)
उत्तर: [(x+2)/2]√(1-4x-x²) + (5/2)sin⁻¹((x+2)/√5) + C
∫ √[5 - (x+2)²] dx
सूत्र: x/2 √(a²-x²) + a²/2 sin⁻¹(x/a)
उत्तर: [(x+2)/2]√(1-4x-x²) + (5/2)sin⁻¹((x+2)/√5) + C
प्र.23 रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी।
▼
सूत्र: d = |(a₂-a₁)·(b₁×b₂)| / |b₁×b₂|
a₂-a₁ = -i-j+4k, b₁×b₂ = 14i-16j+5k.
दूरी d = 22 / √477 इकाई।
a₂-a₁ = -i-j+4k, b₁×b₂ = 14i-16j+5k.
दूरी d = 22 / √477 इकाई।
अथवा लंबवत रेखा का सदिश समीकरण।
▼
रेखा (1,-2,3) से जाती है, a = i-2j+3k.
दिशा b = b₁ × b₂ = (3i+2j-k) × (2i-3j+k) = -i - 5j - 13k.
समीकरण: r = (i-2j+3k) + λ(-i-5j-13k).
दिशा b = b₁ × b₂ = (3i+2j-k) × (2i-3j+k) = -i - 5j - 13k.
समीकरण: r = (i-2j+3k) + λ(-i-5j-13k).
महत्वपूर्ण सूचना (डिस्क्लेमर)
यह कक्षा 12वीं गणित प्री-बोर्ड 2026 के हल केवल शैक्षणिक अभ्यास एवं मार्गदर्शन के उद्देश्य से तैयार किए गए हैं।
यदि किसी हल में कोई त्रुटि या संदेह हो, तो अपने विषय शिक्षक या पाठ्यपुस्तक से अवश्य मिलान करें।
यह पोस्ट कक्षा 12वीं गणित (Maths) के विद्यार्थियों के लिए एक पूर्ण अध्ययन सामग्री है।
नियमित अभ्यास और सही विधि से हल करने पर आप प्री-बोर्ड एवं बोर्ड परीक्षा में बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं।
आपकी परीक्षा की तैयारी के लिए शुभकामनाएँ! — MP EDUCATION GYAN DEEP
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