MP EDUCATION GYAN DEEP
कक्षा 12वीं — गणित (Mathematics)
अर्द्धवार्षिक परीक्षा 2026–27 | आदर्श-प्रश्नपत्र एवं मॉडल उत्तर
समय: 3 घंटे
पूर्णांक: 80
प्रश्न: 23 मुख्य प्रश्न
संक्षिप्त विवरण: यह MP Board के नवीनतम ब्लूप्रिंट (80 अंक) और निर्धारित अर्द्धवार्षिक पाठ्यक्रम (अध्याय 1 से 11 तक: संबंध व फलन से त्रि-विमीय ज्यामिति तक) पर आधारित कक्षा 12 गणित का अभ्यास मॉडल पेपर है।
विद्यार्थियों के लिए निर्देश: सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। पहले स्वयं प्रश्न हल करें, फिर “उत्तर देखें” बटन दबाकर अपने उत्तर का मिलान करें। एक समय में केवल एक ही उत्तर खुलेगा जिससे अभ्यास करने में आसानी हो। (प्रश्न 6 से 23 में दिए गए “अथवा” विकल्पों के उत्तर अलग-अलग बटन से खुलेंगे)।
वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1 से 5)
कुल 32 वस्तुनिष्ठ प्रश्न हैं। प्रत्येक 1 अंक। (कुल 32 अंक)।
प्रश्न 1. सही विकल्प चुनकर लिखिए— 6 × 1 = 6
(1) समुच्चय A = {1, 2, 3} पर संबंध R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3)} किस प्रकार का संबंध है?
मॉडल उत्तर:
(क) केवल स्वतुल्य (यह सममित और संक्रामक नहीं है)
(2) cos-1(cos 7π/6) का मुख्य मान है:
मॉडल उत्तर:
(ख) 5π/6 [चूंकि cos की मुख्य शाखा [0, π] है, cos(2π - 5π/6) = cos(5π/6)]
(3) एक 3×3 कोटि के वर्ग आव्यूह A के लिए |kA| का मान है:
मॉडल उत्तर:
(ग) k3|A|
(4) d/dx (sin(x2)) का मान है:
मॉडल उत्तर:
(ख) 2x cos(x2)
(5) सदिश a = 2i + 3j + k का परिमाण है:
मॉडल उत्तर:
(क) √14 (चूँकि √(22+32+12) = √14)
(6) ∫ (sec x)(sec x + tan x) dx का मान है:
मॉडल उत्तर:
(ग) tan x + sec x + C (क्योंकि ∫sec2x dx + ∫sec x tan x dx = tan x + sec x)
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए— 6 × 1 = 6
(1) यदि फलन f: X → Y एकैकी (One-One) और आच्छादक (Onto) है, तो यह फलन _______ (व्युत्क्रमणीय/अव्युत्क्रमणीय) कहलाता है।
मॉडल उत्तर:
व्युत्क्रमणीय (Invertible)
(2) आव्यूह A और B एक-दूसरे के व्युत्क्रम (Inverse) होंगे यदि AB = BA = _______ हो।
मॉडल उत्तर:
I (तत्समक आव्यूह / Identity Matrix)
(3) अवकल समीकरण dy/dx = ex-y का व्यापक हल _______ है।
मॉडल उत्तर:
ey = ex + C
(4) दो परस्पर लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल (Dot product) _______ होता है।
मॉडल उत्तर:
शून्य (0)
(5) वक्र y = x3 के बिंदु (1, 1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (Slope) _______ है।
मॉडल उत्तर:
3 (चूँकि dy/dx = 3x2, x=1 रखने पर 3)
(6) त्रि-विमीय अंतरिक्ष में किसी रेखा की दिक्-कोज्याओं (l, m, n) के लिए l2 + m2 + n2 = _______ होता है।
मॉडल उत्तर:
1
प्रश्न 3. सत्य / असत्य लिखिए— 6 × 1 = 6
(1) |A| = 0 होने पर आव्यूह A का व्युत्क्रम (A-1) ज्ञात किया जा सकता है।
मॉडल उत्तर:
असत्य (व्युत्क्रम केवल तब निकलता है जब |A| ≠ 0 हो)
(2) फलन f(x) = sin x, अंतराल (0, π/2) में निरंतर वर्धमान (strictly increasing) है।
मॉडल उत्तर:
सत्य
(3) ∫ ex [f(x) + f'(x)] dx = ex f(x) + C होता है।
मॉडल उत्तर:
सत्य
(4) अवकल समीकरण d2y/dx2 + y = 0 की कोटि (Order) 1 है।
मॉडल उत्तर:
असत्य (उच्चतम कोटि 2 है)
(5) i × i = 1 होता है।
मॉडल उत्तर:
असत्य (समान सदिशों का क्रॉस गुणनफल 0 होता है)
(6) दो समांतर रेखाओं के दिक्-अनुपात समानुपाती होते हैं।
मॉडल उत्तर:
सत्य
प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाइए— 7 × 1 = 7
(1) d/dx (sin-1 x) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
1 / √(1 - x2)
(2) d/dx (cos-1 x) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
-1 / √(1 - x2)
(3) d/dx (tan-1 x) (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
1 / (1 + x2)
(4) ∫ 1/(a2+x2) dx (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
(1/a) tan-1(x/a) + C
(5) ∫ 1/√(a2-x2) dx (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
sin-1(x/a) + C
(6) ∫ 1/√(x2-a2) dx (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
log|x + √(x2 - a2)| + C
(7) ∫ tan x dx (सही जोड़ी का मिलान नीचे उत्तर में देखें)
मॉडल उत्तर:
log|sec x| + C
प्रश्न 5. एक वाक्य/शब्द में उत्तर दीजिए— 7 × 1 = 7
(1) वर्ग आव्यूह A सममित (Symmetric) आव्यूह कहलाता है यदि?
मॉडल उत्तर:
A' = A (या AT = A)
(2) x = 1 पर f(x) = x2 + 2x का अवकलज (Derivative) क्या होगा?
मॉडल उत्तर:
4 (चूँकि f'(x) = 2x+2, x=1 रखने पर 4)
(3) रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) में f'(c) का मान क्या होता है?
मॉडल उत्तर:
शून्य (0)
(4) अवकल समीकरण की कोटि (Order) किसे कहते हैं?
मॉडल उत्तर:
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज (Highest order derivative) की कोटि को अवकल समीकरण की कोटि कहते हैं।
(5) सदिश a की दिशा में मात्रक सदिश (Unit vector) का सूत्र लिखिए।
मॉडल उत्तर:
â = a / |a|
(6) x-अक्ष के दिक्-कोसाइन (Direction Cosines) क्या होते हैं?
मॉडल उत्तर:
1, 0, 0
(7) यदि दो समतल r · n1 = d1 और r · n2 = d2 परस्पर लंबवत हैं, तो शर्त लिखिए।
मॉडल उत्तर:
n1 · n2 = 0
अति लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 6 से 15) (MPBSE विज्ञप्ति दिनांक 15-10-2026 अनुसार 2 अंक – अतिलघुउत्तरीय प्रश्नों में आतंरिक विकल्प / अथवा प्रश्न नहीं रहेंगे)
प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का है। कुल 20 अंक।
नोट : 2 अंकों के प्रश्नों में अथवा प्रश्न नहीं आयेंगे, अभ्यास के लिए दो-दो प्रश्न रखे हैं.
प्रश्न 6. यदि f(x) = x2 और g(x) = sin x, तो gof(x) ज्ञात कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
gof(x) = g(f(x))
f(x) का मान रखने पर: g(x2)
चूंकि g(x) = sin x है, अतः x के स्थान पर x2 रखने पर:
gof(x) = sin(x2)
मुख्य मान ज्ञात कीजिए: tan-1(√3) - sec-1(-2)
मॉडल उत्तर:
tan-1(√3) = π/3
sec-1(-2) = π - sec-1(2) = π - π/3 = 2π/3
अतः मान = π/3 - 2π/3 = -π/3
प्रश्न 7. यदि आव्यूह A = [2 4 ; 3 2] और B = [1 3 ; -2 5], तो A + B ज्ञात कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
A + B = [ (2+1) (4+3) ; (3-2) (2+5) ]
A + B = [ 3 7 ; 1 7 ]
3A - C का मान ज्ञात कीजिए, यदि A = [2 4 ; 3 2] और C = [-2 5 ; 3 4]
मॉडल उत्तर:
3A = [6 12 ; 9 6]
3A - C = [6 - (-2) , 12 - 5 ; 9 - 3 , 6 - 4]
= [8 7 ; 6 2]
प्रश्न 8. सारणिक | 2 4 ; -1 2 | का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
सारणिक का मान = (2 × 2) - (4 × -1)
= 4 - (-4) = 4 + 4 = 8
x का मान ज्ञात कीजिए यदि | x 2 ; 18 x | = | 6 2 ; 18 6 |
मॉडल उत्तर:
बायाँ पक्ष: x2 - 36
दायाँ पक्ष: 36 - 36 = 0
अतः x2 - 36 = 0 ⇒ x2 = 36 ⇒ x = ±6
प्रश्न 9. x = 2 पर फलन f(x) = 2x + 3 के सांतत्य (Continuity) की जाँच कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
x = 2 पर फलन का मान: f(2) = 2(2) + 3 = 7
लिमिट: lim (x→2) f(x) = lim (x→2) (2x + 3) = 2(2) + 3 = 7
चूंकि lim (x→2) f(x) = f(2) = 7, अतः फलन x = 2 पर संतत (Continuous) है।
y = sin(x2) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
मॉडल उत्तर:
श्रृंखला नियम (Chain Rule) द्वारा:
dy/dx = (d/dx) sin(x2)
= cos(x2) · d/dx(x2)
= 2x cos(x2)
प्रश्न 10. एक वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या 10 सेमी हो, तो क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
दिया है: dr/dt = 3 cm/s, r = 10 cm.
वृत्त का क्षेत्रफल A = πr2
t के सापेक्ष अवकलन करने पर: dA/dt = 2πr · dr/dt
मान रखने पर: dA/dt = 2π × 10 × 3 = 60π cm2/s
फलन f(x) = x2 - 4x + 3 के लिए वर्धमान (Increasing) होने का अंतराल ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
f'(x) = 2x - 4
वर्धमान होने के लिए f'(x) > 0 होना चाहिए।
2x - 4 > 0 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2
अतः अंतराल (2, ∞) में फलन निरंतर वर्धमान है।
प्रश्न 11. ∫ (2x2 + ex) dx का मान ज्ञात कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
∫ (2x2 + ex) dx = 2 ∫ x2 dx + ∫ ex dx
= 2(x3/3) + ex + C
= (2/3)x3 + ex + C
∫ sin 2x dx का मान ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
चूँकि ∫ sin(ax) dx = -cos(ax)/a + C
अतः ∫ sin 2x dx = -cos(2x) / 2 + C
प्रश्न 12. परवलय y = x2 और रेखा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का केवल समाकलन सूत्र (Definite Integral) लिखिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
सममिति के कारण कुल क्षेत्रफल y-अक्ष के दोनों ओर होगा।
क्षेत्रफल A = 2 × ∫04 x dy
यहाँ y = x2 ⇒ x = √y
अतः A = 2 ∫04 √y dy
वृत्त x2 + y2 = a2 के प्रथम चतुर्थांश के क्षेत्रफल का समाकलन सूत्र लिखिए।
मॉडल उत्तर:
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल A = ∫0a y dx
चूंकि y = √(a2 - x2)
अतः A = ∫0a √(a2 - x2) dx
प्रश्न 13. अवकल समीकरण d2y/dx2 + (dy/dx)3 = 0 की कोटि (Order) एवं घात (Degree) बताइए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
उच्चतम अवकलज d2y/dx2 है, अतः कोटि = 2
इस उच्चतम अवकलज की घात 1 है, अतः घात = 1
अवकल समीकरण dy/dx = x/y का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
चरों को पृथक करने पर: y dy = x dx
समाकलन करने पर: ∫ y dy = ∫ x dx
y2/2 = x2/2 + C (या y2 - x2 = C')
प्रश्न 14. सदिश a = i + j + 2k के अनुदिश मात्रक सदिश (Unit Vector) ज्ञात कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
सदिश का परिमाण |a| = √(12 + 12 + 22) = √(1+1+4) = √6
मात्रक सदिश â = a / |a| = (i + j + 2k) / √6
= (1/√6)i + (1/√6)j + (2/√6)k
सदिशों a = 2i + 2j - k और b = 6i - 3j + 2k के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
a · b = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4
|a| = √(4+4+1) = 3, |b| = √(36+9+4) = 7
cos θ = (a · b) / (|a||b|) = 4 / (3 × 7) = 4/21
θ = cos-1(4/21)
प्रश्न 15. बिंदुओं A(2, 3, 4) और B(-1, 2, 4) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात (Direction ratios) ज्ञात कीजिए। 2 अंक
मॉडल उत्तर:
दिक् अनुपात (a, b, c) = (x2 - x1), (y2 - y1), (z2 - z1)
a = -1 - 2 = -3
b = 2 - 3 = -1
c = 4 - 4 = 0
अतः दिक् अनुपात -3, -1, 0 हैं।
समतल 2x + 3y + 4z = 12 के अभिलंब के दिक्-अनुपात लिखिए।
मॉडल उत्तर:
समतल के समीकरण Ax + By + Cz = D में x, y, z के गुणांक अभिलंब के दिक् अनुपात होते हैं।
अतः दिक् अनुपात (a, b, c) = 2, 3, 4 हैं।
लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 16 से 19)
प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का है। कुल 12 अंक।
प्रश्न 16. आव्यूह A = [1 2 ; 3 4] का सहखंडज (Adjoint) ज्ञात कीजिए। 3 अंक
मॉडल उत्तर:
आव्यूह A के सहखंड (Cofactors):
C11 = (-1)1+1 (4) = 4
C12 = (-1)1+2 (3) = -3
C21 = (-1)2+1 (2) = -2
C22 = (-1)2+2 (1) = 1
सहखंडों से बना आव्यूह C = [4 -3 ; -2 1]
Adjoint A = C' (C का परिवर्त) = [4 -2 ; -3 1]
अथवा: दर्शाइए कि बिंदु A(a, b+c), B(b, c+a) और C(c, a+b) संरेख (Collinear) हैं। (सारणिक का प्रयोग करें)
मॉडल उत्तर:
त्रिभुज का क्षेत्रफल Δ = (1/2) | a, b+c, 1 ; b, c+a, 1 ; c, a+b, 1 |
C1 → C1 + C2 करने पर:
Δ = (1/2) | a+b+c, b+c, 1 ; a+b+c, c+a, 1 ; a+b+c, a+b, 1 |
C1 से (a+b+c) उभयनिष्ठ लेने पर:
Δ = (a+b+c)/2 | 1, b+c, 1 ; 1, c+a, 1 ; 1, a+b, 1 |
चूंकि C1 और C3 सर्वसम हैं, सारणिक का मान शून्य होगा।
क्षेत्रफल शून्य है, अतः बिंदु संरेख हैं।
प्रश्न 17. एक घन का आयतन 8 सेमी3/सेकंड की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठीय क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब इसके किनारे की लंबाई 12 सेमी है? 3 अंक
मॉडल उत्तर:
माना घन की भुजा x है।
आयतन V = x3 ⇒ dV/dt = 3x2 (dx/dt) = 8
⇒ dx/dt = 8 / (3x2)
पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 6x2
dS/dt = 12x (dx/dt) = 12x × [8 / (3x2)] = 32 / x
जब x = 12 सेमी है, तो dS/dt = 32 / 12 = 8/3 सेमी2/सेकंड।
अथवा: वक्र y = x2 - 2x + 7 के उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ प्रवणता (Slope) शून्य हो।
मॉडल उत्तर:
dy/dx = 2x - 2
प्रवणता शून्य है, अतः 2x - 2 = 0 ⇒ x = 1
जब x = 1, तो y = (1)2 - 2(1) + 7 = 6
अतः स्पर्श बिंदु (1, 6) है।
स्पर्श रेखा का समीकरण: y - y1 = m(x - x1)
y - 6 = 0(x - 1) ⇒ y = 6
प्रश्न 18. ∫ x sin x dx का मान ज्ञात कीजिए। 3 अंक
मॉडल उत्तर:
खण्डशः समाकलन (Integration by parts) सूत्र का उपयोग करते हैं:
∫ u v dx = u ∫ v dx - ∫ (u' ∫ v dx) dx
ILATE नियम के अनुसार, u = x और v = sin x
= x ∫ sin x dx - ∫ [ (d/dx)(x) ∫ sin x dx ] dx
= x (-cos x) - ∫ [ 1 × (-cos x) ] dx
= -x cos x + ∫ cos x dx
= -x cos x + sin x + C
अथवा: ∫ (dx) / (x2 - 16) का मान ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
हम जानते हैं कि ∫ dx / (x2 - a2) = (1/2a) log |(x - a) / (x + a)| + C
यहाँ a2 = 16 ⇒ a = 4
अतः ∫ dx / (x2 - 42) = (1/8) log |(x - 4) / (x + 4)| + C
प्रश्न 19. अवकल समीकरण dy/dx = (1 + y2)/(1 + x2) को हल कीजिए। 3 अंक
मॉडल उत्तर:
चरो को पृथक (Variables separable) करने पर:
dy / (1 + y2) = dx / (1 + x2)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
∫ dy / (1 + y2) = ∫ dx / (1 + x2)
tan-1(y) = tan-1(x) + C
(इसे tan-1(y) - tan-1(x) = C के रूप में भी लिख सकते हैं)।
अथवा: दर्शाइए कि y = ex + 1 अवकल समीकरण y'' - y' = 0 का हल है।
मॉडल उत्तर:
दिया है y = ex + 1
एक बार अवकलन करने पर: y' = ex
दोबारा अवकलन करने पर: y'' = ex
अवकल समीकरण में मान रखने पर: y'' - y' = ex - ex = 0
चूंकि बायां पक्ष = दायां पक्ष, अतः यह समीकरण का हल है।
दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 20 से 23)
प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का है। कुल 16 अंक।
प्रश्न 20. सिद्ध कीजिए कि R में R = {(a,b): a ≤ b} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य और संक्रामक है, लेकिन सममित नहीं है। 4 अंक
मॉडल उत्तर:
1. स्वतुल्य (Reflexive): प्रत्येक वास्तविक संख्या a के लिए a ≤ a सत्य है। अतः (a,a) ∈ R. इसलिए R स्वतुल्य है।
2. सममित (Symmetric): माना (2, 3) ∈ R क्योंकि 2 ≤ 3. परन्तु 3 ≤ 2 सत्य नहीं है, अतः (3, 2) ∉ R. इसलिए R सममित नहीं है।
3. संक्रामक (Transitive): माना (a,b) ∈ R और (b,c) ∈ R. इसका अर्थ है a ≤ b और b ≤ c. इससे स्पष्ट है कि a ≤ c होगा। अतः (a,c) ∈ R. इसलिए R संक्रामक है।
अतः यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।
अथवा: यदि f(x) = (4x + 3)/(6x - 4), x ≠ 2/3 है, तो सिद्ध कीजिए कि सभी x ≠ 2/3 के लिए f(f(x)) = x है। फलन f का प्रतिलोम फलन (Inverse) क्या है?
मॉडल उत्तर:
f(f(x)) = f( (4x+3)/(6x-4) )
= [ 4((4x+3)/(6x-4)) + 3 ] / [ 6((4x+3)/(6x-4)) - 4 ]
अंश = (16x + 12 + 18x - 12) / (6x-4) = 34x / (6x-4)
हर = (24x + 18 - 24x + 16) / (6x-4) = 34 / (6x-4)
f(f(x)) = (34x) / 34 = x (सिद्ध हुआ)।
चूंकि f(f(x)) = x है, इसलिए फलन f स्वयं अपना प्रतिलोम है। अर्थात् f-1(x) = f(x) = (4x+3)/(6x-4)।
प्रश्न 21. वक्र y = x2 और रेखा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 4 अंक
मॉडल उत्तर:
सममिति के कारण कुल क्षेत्रफल y-अक्ष के दोनों ओर बराबर होगा।
क्षेत्रफल A = 2 × ∫04 x dy
चूंकि y = x2 है, अतः x = √y
A = 2 ∫04 y1/2 dy
= 2 [ (y3/2) / (3/2) ]04
= 2 × (2/3) [ 43/2 - 0 ]
= (4/3) [ 8 ] = 32 / 3 वर्ग इकाई।
अथवा: वक्र y = cos x (0 ≤ x ≤ 2π) द्वारा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
cos x का वक्र [0, π/2] में धनात्मक, [π/2, 3π/2] में ऋणात्मक और [3π/2, 2π] में पुनः धनात्मक होता है।
कुल क्षेत्रफल A = |∫0π/2 cos x dx| + |∫π/23π/2 cos x dx| + |∫3π/22π cos x dx|
= [sin x]0π/2 + | [sin x]π/23π/2 | + [sin x]3π/22π
= (1 - 0) + | -1 - 1 | + (0 - (-1))
= 1 + |-2| + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 वर्ग इकाई।
प्रश्न 22. दो रेखाओं r = (i+2j+k) + λ(i-j+k) और r = (2i-j-k) + μ(2i+j+2k) के बीच की न्यूनतम दूरी (Shortest Distance) ज्ञात कीजिए। 4 अंक
मॉडल उत्तर:
यहाँ a1 = i+2j+k, b1 = i-j+k
a2 = 2i-j-k, b2 = 2i+j+2k
न्यूनतम दूरी d = |(a2 - a1) · (b1 × b2)| / |b1 × b2|
a2 - a1 = (2-1)i + (-1-2)j + (-1-1)k = i - 3j - 2k
b1 × b2 = | i j k ; 1 -1 1 ; 2 1 2 |
= i(-2 - 1) - j(2 - 2) + k(1 - (-2)) = -3i - 0j + 3k
|b1 × b2| = √((-3)2 + 32) = √18 = 3√2
(a2 - a1) · (b1 × b2) = (1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3) = -3 - 6 = -9
d = |-9| / 3√2 = 9 / 3√2 = 3/√2 = 3√2 / 2 इकाई।
अथवा: समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x, y और z अक्षों पर क्रमशः 2, 3 और 4 के अंतःखंड (Intercepts) काटता है।
मॉडल उत्तर:
अंतःखंड रूप में समतल का समीकरण होता है: x/a + y/b + z/c = 1
दिया गया है: a = 2, b = 3, c = 4
समीकरण: x/2 + y/3 + z/4 = 1
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 से गुणा करने पर:
6x + 4y + 3z = 12
यही समतल का अभीष्ट समीकरण है।
प्रश्न 23. फलन f(x) = 3x4 + 4x3 - 12x2 + 12 का स्थानीय उच्चतम (Local Maxima) और स्थानीय निम्नतम (Local Minima) मान ज्ञात कीजिए। 4 अंक
मॉडल उत्तर:
f'(x) = 12x3 + 12x2 - 24x
क्रांतिक बिंदुओं के लिए f'(x) = 0
12x(x2 + x - 2) = 0 ⇒ 12x(x+2)(x-1) = 0
x = 0, x = 1, x = -2
द्वितीय अवकलज: f''(x) = 36x2 + 24x - 24
x = 0 पर: f''(0) = -24 < 0 (स्थानीय उच्चतम)
x = 1 पर: f''(1) = 36 + 24 - 24 = 36 > 0 (स्थानीय निम्नतम)
x = -2 पर: f''(-2) = 144 - 48 - 24 = 72 > 0 (स्थानीय निम्नतम)
मान:
स्थानीय उच्चतम मान (x = 0 पर) = f(0) = 12
स्थानीय निम्नतम मान (x = 1 पर) = f(1) = 3 + 4 - 12 + 12 = 7
स्थानीय निम्नतम मान (x = -2 पर) = f(-2) = 3(16) + 4(-8) - 12(4) + 12 = 48 - 32 - 48 + 12 = -20
अथवा: रैखिक अवकल समीकरण dy/dx + y sec x = tan x (0 ≤ x < π/2) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
मॉडल उत्तर:
यह dy/dx + Py = Q के रूप का समीकरण है, जहाँ P = sec x और Q = tan x.
समाकलन गुणक (I.F.) = e∫P dx = e∫sec x dx = elog(sec x + tan x) = sec x + tan x
व्यापक हल: y × (I.F.) = ∫ Q × (I.F.) dx + C
y(sec x + tan x) = ∫ tan x(sec x + tan x) dx + C
= ∫ (sec x tan x + tan2 x) dx + C
= ∫ (sec x tan x + sec2 x - 1) dx + C
= sec x + tan x - x + C
अतः y(sec x + tan x) = sec x + tan x - x + C.
डिस्क्लेमर (Disclaimer): यह प्रश्नपत्र केवल विद्यार्थियों के अभ्यास और शैक्षणिक मार्गदर्शन हेतु तैयार किया गया एक संभावित मॉडल पेपर है। यह कोई असली या लीक हुआ पेपर नहीं है। कृपया परीक्षा के सटीक पाठ्यक्रम के लिए MP Board के निर्देशों का ही पालन करें।
0 Comments